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[작도의 미학] 00. 작도(Straightedge and Compass Construction)란 무엇인가?

글쓴이
생성일
2021/11/18
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[the beauty of construction] 0. What is Straightedge and compass construction?

"누구나 할 수 있는 작도" 시리즈는 저자가 11년 전 (2011년도) 네이버 블로그(My§t∂Rγ'sⓑ Art and Design)에 올린 글을 일부 편집하여, 다시 연재한 것입니다.

작도란 무엇인가?

작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 도형을 그리는 것이다.
작도가 생겨나게 된 계기는 고대 그리스인들의 ‘가장 완전한 도형은 직선과 원이며, 그래서 신은 이들을 중요히 여긴다.’라는 믿음에서 왔다. 이 믿음을 토대로 원을 그릴 수 있는 컴퍼스 직선을 그릴 수 있는 자를 이용하게 되었다. 여기서 직선을 그릴 수 있는 자에 조건이 있다. 바로 눈금 없는 자이어야 한다는 것이다. 왜 하필 눈금 없는 자일까? 그것은 그 당시 사회적, 문화적 측면에 해답이 있다. 고대 그리스인들은 측량술을 노예들이나 하는 천한 기술이라 업신여겨 왔기 때문이다.
유클리드의 원론에 나와 있는 공준들 중에서 3개를 살펴보자.
1.
한 점에서 또 다른 한 점으로 직선을 그릴 수 있다.
2.
유한직선은 무한히 연장시킬 수 있다.
3.
임의의 점을 중심으로 하고, 그 중심으로부터 그려진 유한 직선과 같은 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.
공준 1과 2는 임의의 두 점을 지나는 직선을 작도할 수 있다는 말이다. 여기에는 자를 이용하여 직선을 그릴 수 있다는 것만을 표시하고 있다. 공준 3은 현재 사용되고 있는 컴퍼스와 유클리드 당시 사용되던 컴퍼스가 다르단 것을 설명하고 있다.

유클리드 컴퍼스와 현재 사용하는 컴퍼스의 기능 비교

현재 사용되고 있는 컴퍼스는 특정 길이를 옮길 수 있다. 그러나 유클리드 컴퍼스는 디바이더(선을 등분하거나 길이를 따서 옮기는 데 쓰이는 도구)의 기능이 없는 컴퍼스이다. 따라서 작도를 하기에 앞서 유클리드 컴퍼스와 현재 사용하고 있는 컴퍼스의 기능이 동일하다는 것을 보여야 한다고 생각한다.

유클리드 컴퍼스를 이용하여 [ 같은 길이의 선분 ] 작도

유클리드 컴퍼스를 이용하여 같은 길이의 선분을 작도한 모습
1.
세 점 A, B, C가 주어진 상태에서 점A,점B에서 반지름이 같은 적당한 크기의 원을 그린다.
2.
두 원의 교점에서 점C를 지나는 두 원을 그린다. 새로 그린 원과 원A의 교점을 D라 하자.
3.
선분AD는 선분BC와 길이가 같다.

유클리드 컴퍼스를 이용하여 [ 같은 길이의 선분 ] 증명

1.
점 A, B에서 그린 두 원의 교점을 X, Y라 하자.
2.
점 B와 점 C는 선분 XY에 대하여 각각 점 A, 점 D와 대칭이다.
3.
∴선분BC=선분AD
이로써 우리는 유클리드 컴퍼스를 이용하여 특정 위치에 특정한 길이를 작도할 수 있음을 보였다. 유클리드 컴퍼스와 현재 사용되고 있는 컴퍼스의 기능이 같으므로, 우리는 좀 더 간편한 현재 사용되고 있는 컴퍼스로 작도를 할 것이다.

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