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[출판사] 전기장판  
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[작도의 미학] 06. 각의 이등분선 작도 방법과 증명 & 각의 삼등분 작도의 불가능

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생성일
2021/11/24
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[ 각의 이등분선 ] 작도 방법

각의 이등분선 작도

[ 각의 이등분선 ] 작도 방법

1.
각의 꼭지점A에서 적당한 크기의 원호를 그린다. 원과 각의 교점을 B, C라 하자.
2.
점B, 점C에서 같은 반지름을 가지는 적당한 크기의 원을 그린다. 두 원의 교점을 D라 하자.
3.
반직선AD를 그으면 ∠CAD, ∠BAD는 ∠BAC를 이등분한다.

[ 각의 이등분선 ] 증명

1.
선분AC=선분AB (∵1.)
2.
선분CD=선분BD (∵2.)
3.
선분AD는 공통
4.
∴삼각형ACD와 삼각형ABD는 SSS합동
5.
∠BAC=∠CAD+∠BAD =∠CAD+∠CAD =2∠CAD
6.
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC/2
7.
∴선분AD는 ∠BAC의 이등분선이다.

각의 삼등분 작도 불가능

3대 작도 불능 문제 중 각의 삼등분 작도가 있다. 이를 증명하기 위해서는 각의 3등분을 작도 할 수 없는 한 예를 보이면 된다.
1.
60°인 각을 삼등분 할 수 있다고 가정하자.
2.
정삼각형을 작도 할 수 있으므로 60°를 작도할 수 있다.
3.
가정에 의해 60°의 삼등분인 20°를 작도 할 수 있다.
4.
∴cos60°=4cos³20°-3cos20°이고 cos60°=1/2이다.
5.
cos20°를 x라 하자.
6.
8x³-6x-1=0이므로 ‘유리수를 계수로 갖는 3차 기약 다항식의 근은 작도할 수 없다.’ 는 사실에 의하여 20°를 작도 할 수 없다.
7.
∴모든 각의 삼등분은 작도가 불가능 하다.

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