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[작도의 미학] 10. 컴퍼스만을 이용하여 주어진 두 점의 이등분점 작도 방법과 증명

글쓴이
생성일
2021/11/28
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컴퍼스만을 이용하여 주어진 두 점의 [ 이등분점 ] 작도 방법

컴퍼스만을 이용하여 주어진 두 점의 이등분점 작도
1.
반지름의 길이가 선분AB인 원A와 원B를 그린다. 원A와 원B의 교점을 C라 하자.
2.
점C에서 원B와 크기가 같은 원C를 그린다음 원B와의 교점을 D라 하자.
3.
점D에서 원B와 크기가 같은 원D를 그린다음 원B와의 교점을 E라 하자.
4.
반지름이 선분AE인 원E를 그린다음 원A와의 교점을 P, Q라 하자.
5.
반지름의 길이가 선분PA인 원P, 원Q를 그린다. 원P와 원Q의 교점을 M이라 하자.
6.
점M은 점A, 점B의 중점이다.

컴퍼스만을 이용하여 작도한 주어진 두 점의 [ 이등분점 ] 증명

1.
선분AB의 길이를 r이라 하자.
2.
선분PQ와 선분AE의 교점을 X라 하고 선분AX의 길이를 x라 하자.
3.
피타고라스의 정리에 의하여,
AP2AX2=PE2EX2r2x2=4r2(2rx)2x=r/4\overline{AP}^2-\overline{AX}^2=\overline{PE}^2-\overline{EX}^2 \\r^2-x^2=4r^2-(2r-x)^2\\\therefore x=r/4
4.
점A는 선분PQ에 대하여 점M과 대칭이므로 선분AM=2선분AX=r/2
5.
∴점M은 점A, 점B의 중점이다.

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